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发表于 2021-5-21 15:12:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
 
在x趋近于+∞ 下
lim 1/x * ln (x+(1+x^2)^1/2) 怎么得到  lim 1/【(x+(1+x^2)^1/2
】【1+x/(1+x^2)^1/2]的 然后又怎么得到 lim 1/[(1+x^2)^1/2]的








lim x→∞ { ln[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] }/x 是 ∞/∞ 型,用罗比塔法则
分母的导数是 1;

分子的导数 { ln[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] }’

= 1/[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] * [ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ]'

= 1/[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] * [ 1 + x/( 1 + x^2 )^(1/2) ]  第二个方括号通分

= 1/[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] * [ ( 1 + x^2 )^(1/2)/( 1 + x^2 )^(1/2) + x/( 1 + x^2 )^(1/2) ]

= 1/[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] * [ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ]/ [ ( 1 + x^2 )^(1/2) ]  第一、二方括号约分

= 1/[ ( 1 + x^2 )^(1/2) ];

故 lim x→∞ { ln[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] }/x

= lim x→∞  { 1/[ x + ( 1 + x^2 )^(1/2) ] * [ 1 + x/( 1 + x^2 )^(1/2) ] } /1

= lim x→∞ 1/[ ( 1 + x^2 )^(1/2) ]

= 0 。

  • 追答:应用的公式:(lnu)' = 1/u * u'



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